【1元2次方程的公式】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程在代数学习中占有重要地位，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。为了求解一元二次方程，数学家们总结出了一套通用的求根公式，称为“求根公式”或“一元二次方程的求根公式”。
一、一元二次方程的基本形式
一元二次方程的标准形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数；
- $ b $ 是一次项系数；
- $ c $ 是常数项。
二、求根公式（一元二次方程的公式）
对于任意一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其解可以用以下公式表示：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这个公式被称为“求根公式”，用于计算方程的两个实数根或复数根。
三、判别式的作用
在使用求根公式时，需要先计算判别式 $ D = b^2 - 4ac $，它决定了方程的根的性质：
| 判别式 $ D $ | 根的情况 |
| $ D > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ D = 0 $ | 有两个相等的实数根（重根） |
| $ D < 0 $ | 有两个共轭复数根 |
四、求根公式的推导简述
求根公式的推导基于配方法，将标准形式的方程通过配方转化为平方形式，再开方求解。具体步骤如下：
1. 将方程两边同时除以 $ a $：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
$$
2. 移项：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
3. 配方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
4. 左边变为完全平方：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
5. 开方并整理：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
五、总结与表格
| 概念 | 内容 |
| 方程形式 | $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $） |
| 求根公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 根的性质 | - $ D > 0 $：两个不等实根 - $ D = 0 $：一个实根（重根） - $ D < 0 $：两个共轭复根 |
| 应用范围 | 数学、物理、工程、经济学等 |
| 推导方法 | 配方法、代数变形 |
通过掌握一元二次方程的公式和相关知识，可以更高效地解决实际问题，并为进一步学习高阶代数打下坚实基础。