【反三角函数公式】反三角函数是三角函数的反函数，用于根据已知的三角函数值求出对应的角度。在数学、物理和工程中广泛应用。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。以下是对这些函数的基本公式和性质的总结。
一、基本定义
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | $ y = \arcsin(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ |
| 反余弦 | $ y = \arccos(x) $ | $ x \in [-1, 1] $ | $ y \in [0, \pi] $ |
| 反正切 | $ y = \arctan(x) $ | $ x \in (-\infty, +\infty) $ | $ y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ |
二、常用公式
1. 与三角函数的关系
- $ \sin(\arcsin(x)) = x $，其中 $ x \in [-1, 1] $
- $ \cos(\arccos(x)) = x $，其中 $ x \in [-1, 1] $
- $ \tan(\arctan(x)) = x $，其中 $ x \in \mathbb{R} $
2. 对称性与互补关系
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ | 奇函数性质 |
| $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ | 对称于 π/2 |
| $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ | 奇函数性质 |
| $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ | 互为补角 |
| $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} $，当 $ x > 0 $ |
三、导数公式
| 函数名称 | 导数 |
| $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arccos(x) $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arctan(x) $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、积分公式
| 函数名称 | 积分表达式 |
| $ \int \arcsin(x)\, dx $ | $ x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arccos(x)\, dx $ | $ x \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arctan(x)\, dx $ | $ x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
五、应用举例
1. 解三角形问题：已知边长，求角度。
2. 信号处理：用于计算相位差。
3. 物理运动分析：如简谐振动中的角度计算。
4. 计算机图形学：用于旋转矩阵和坐标变换。
总结
反三角函数是解决角度与三角函数值之间关系的重要工具。它们在多个学科领域中具有广泛的应用价值。掌握其基本定义、公式及导数、积分形式，有助于更深入地理解相关数学模型，并提高实际问题的解决能力。