【二次型的规范型与特征值的关系】在数学中，二次型是一个关于变量的二次齐次多项式，常用于描述几何形状、优化问题以及矩阵分析等领域。二次型的规范型是其在正交变换下最简形式，而特征值则是矩阵的重要属性，二者之间有着密切的联系。本文将总结二次型的规范型与其对应的特征值之间的关系，并通过表格进行对比说明。
一、基本概念
1. 二次型：设 $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T $ 是一个列向量，$ A $ 是一个对称矩阵，则函数
$$
f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}
$$
称为一个二次型。
2. 规范型：对于一个二次型，可以通过正交变换将其化为只含平方项的形式，即
$$
f(\mathbf{y}) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2
$$
其中 $ \lambda_i $ 是实数，称为该二次型的规范型系数。
3. 特征值：设 $ A $ 是一个对称矩阵，则其特征值 $ \lambda $ 满足
$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$
特征值反映了矩阵的“伸缩”性质，是理解二次型行为的关键。
二、规范型与特征值的关系
二次型的规范型是由其对应矩阵的特征值决定的。具体来说：
- 当我们对二次型进行正交变换（即使用正交矩阵 $ P $ 进行坐标变换 $ \mathbf{x} = P\mathbf{y} $），二次型可以表示为：
$$
f(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}
$$
其中 $ D $ 是对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵 $ A $ 的特征值。
- 因此，二次型的规范型中的每个平方项的系数就是矩阵 $ A $ 的特征值。
- 若特征值为正、负或零，那么规范型中相应的项分别为正、负或零。
三、总结与对比
| 项目 | 内容 |
| 二次型定义 | 形如 $ f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $，其中 $ A $ 是对称矩阵 |
| 正交变换 | 通过正交矩阵 $ P $ 将二次型化为规范型 |
| 规范型形式 | $ f(\mathbf{y}) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 $ |
| 规范型系数 | 等于原矩阵 $ A $ 的特征值 |
| 特征值作用 | 反映了二次型在不同方向上的“强度”和符号 |
| 正定/负定判断 | 若所有特征值均为正/负，则二次型为正定/负定 |
| 零特征值影响 | 若存在零特征值，则二次型为半正定或半负定 |
四、结论
二次型的规范型是其在正交变换下的最简形式，而该形式中的各项系数正是原矩阵的特征值。因此，研究二次型的规范型本质上就是研究其对应矩阵的特征值分布。通过分析特征值的正负和数量，可以判断二次型的类型（正定、负定、不定等），这对于理解几何结构、优化问题以及物理模型具有重要意义。
关键词：二次型、规范型、特征值、正交变换、正定性