【标准正态分布公式】标准正态分布是统计学中最重要的一种概率分布，广泛应用于数据分析、质量控制、金融建模等多个领域。它是一种对称的钟形曲线，具有均值为0、标准差为1的特性。本文将对标准正态分布的基本公式进行总结，并以表格形式展示其关键参数和应用。
一、标准正态分布的基本定义
标准正态分布（Standard Normal Distribution）是一个连续型概率分布，记作 $ Z \sim N(0, 1) $，其中：
- 均值（μ）= 0
- 方差（σ²）= 1
- 标准差（σ）= 1
它的概率密度函数（PDF）为：
$$
f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, \quad -\infty < z < \infty
$$
该函数描述了随机变量 $ Z $ 在不同取值处的概率密度。
二、标准正态分布的应用
在实际应用中，我们常通过标准化方法将任意正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ 转换为标准正态分布 $ Z $，公式如下：
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
这样可以方便地使用标准正态分布表来查找概率值。
三、标准正态分布的关键参数与性质
| 属性 | 描述 |
| 概率密度函数 | $ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} $ |
| 均值 | $ \mu = 0 $ |
| 方差 | $ \sigma^2 = 1 $ |
| 标准差 | $ \sigma = 1 $ |
| 对称性 | 关于 y 轴对称，即 $ f(-z) = f(z) $ |
| 累积分布函数（CDF） | $ \Phi(z) = P(Z \leq z) $，用于计算概率 |
| 分位点 | 如 $ z_{0.95} $ 表示累积概率为 0.95 的分位数 |
四、标准正态分布表的使用说明
在实际计算中，通常会使用标准正态分布表（Z 表）来查找特定 $ z $ 值对应的累积概率。例如：
- $ \Phi(1.64) \approx 0.9495 $
- $ \Phi(1.96) \approx 0.9750 $
- $ \Phi(2.33) \approx 0.9901 $
这些值常用于置信区间的计算和假设检验。
五、总结
标准正态分布是统计学中的基础工具，因其数学上的简洁性和广泛应用而备受重视。掌握其公式、性质及使用方法，有助于更准确地进行数据分析和推断。通过合理利用标准正态分布表或软件工具，可以快速求解各类概率问题。
附：常用标准正态分布分位点表
| 分位点 | 累积概率（P(Z ≤ z)） |
| 1.28 | 0.8997 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.96 | 0.9750 |
| 2.33 | 0.9901 |
| 2.58 | 0.9951 |
如需进一步了解如何用编程语言（如 Python 或 R）实现标准正态分布的计算，可参考相关教程或文档。