【二维正态分布概率密度公式是什么?】二维正态分布是统计学中一种重要的连续概率分布，广泛应用于金融、工程、物理等多个领域。它描述的是两个随机变量之间的联合分布情况，并且这两个变量服从正态分布，同时具有一定的相关性。
为了更清晰地理解二维正态分布的概率密度函数（PDF），下面将从定义、公式、参数意义等方面进行总结，并通过表格形式直观展示关键信息。
一、二维正态分布的定义
二维正态分布是指两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 联合服从正态分布的情况。它的概率密度函数不仅取决于每个变量的均值和方差，还与它们之间的相关系数有关。
二、二维正态分布的概率密度函数
设随机变量 $ (X, Y) $ 服从二维正态分布，记为：
$$
(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)
$$
其中：
- $ \mu_1 $：$ X $ 的均值
- $ \mu_2 $：$ Y $ 的均值
- $ \sigma_1^2 $：$ X $ 的方差
- $ \sigma_2^2 $：$ Y $ 的方差
- $ \rho $：$ X $ 与 $ Y $ 的相关系数（$ -1 < \rho < 1 $）
则其概率密度函数为：
$$
f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x - \mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] \right)
$$
三、关键参数说明
| 参数 | 含义 | 说明 |
| $ \mu_1 $ | $ X $ 的均值 | 随机变量 $ X $ 的中心位置 |
| $ \mu_2 $ | $ Y $ 的均值 | 随机变量 $ Y $ 的中心位置 |
| $ \sigma_1^2 $ | $ X $ 的方差 | 衡量 $ X $ 的离散程度 |
| $ \sigma_2^2 $ | $ Y $ 的方差 | 衡量 $ Y $ 的离散程度 |
| $ \rho $ | 相关系数 | 表示 $ X $ 与 $ Y $ 的线性相关程度 |
四、二维正态分布的特点
- 当 $ \rho = 0 $ 时，$ X $ 与 $ Y $ 独立，此时分布退化为两个独立的一维正态分布的乘积。
- 若 $ \rho = 1 $ 或 $ \rho = -1 $，表示 $ X $ 与 $ Y $ 完全相关，此时分布退化为一条直线上的分布。
- 概率密度曲线呈“椭圆”形状，椭圆的方向和长短轴由相关系数和方差决定。
五、总结
二维正态分布是描述两个连续随机变量联合分布的重要模型，其概率密度函数包含了均值、方差以及相关系数等关键参数。理解这一分布有助于在实际问题中进行建模和数据分析。
| 项目 | 内容 |
| 分布名称 | 二维正态分布 |
| 概率密度函数 | $ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left( -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x - \mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] \right) $ |
| 主要参数 | 均值 $ \mu_1, \mu_2 $；方差 $ \sigma_1^2, \sigma_2^2 $；相关系数 $ \rho $ |
| 特点 | 可以反映变量间的相关性，图像呈椭圆形 |
如需进一步了解二维正态分布的应用或与其他分布的关系，可以继续深入探讨。