在数学领域中，向量是一种具有大小和方向的量，广泛应用于物理学、工程学以及计算机科学等领域。为了更好地理解和运用向量，我们需要掌握其基本的运算法则。本文将从定义出发，逐步推导并证明向量的加法、数乘以及点积等核心运算法则。
向量的基本概念
设$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个向量，则它们可以表示为有序数组形式：
$$
\vec{a} = (a_1, a_2, ..., a_n), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)
$$
其中$n$为向量的维度。向量的大小（或模）定义为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_n}^2}
$$
向量加法的定义与证明
向量加法遵循平行四边形法则。给定两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，它们的和$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$可以通过分量逐项相加得到：
$$
\vec{c} = (a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)
$$
证明：
根据向量的几何意义，若将$\vec{a}$和$\vec{b}$首尾相连，则它们的和$\vec{c}$恰好是从$\vec{a}$起点到$\vec{b}$终点的有向线段。利用坐标系表示，$\vec{a}$和$\vec{b}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，因此$\vec{c}$的坐标自然为$(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)$。这验证了向量加法的分量规则。
数乘运算的定义与性质
对于任意标量$k$和向量$\vec{a}$，其数乘结果为：
$$
k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ..., ka_n)
$$
性质：
1. $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
2. $(k+l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
3. $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$
这些性质可以通过代入分量逐一验证，例如第一个性质：
$$
k(\vec{a}+\vec{b}) = k(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n) = (ka_1+kb_1, ka_2+kb_2, ..., ka_n+kb_n)
$$
而
$$
k\vec{a} + k\vec{b} = (ka_1, ka_2, ..., ka_n) + (kb_1, kb_2, ..., kb_n) = (ka_1+kb_1, ka_2+kb_2, ..., ka_n+kb_n)
$$
两者完全一致，从而证明了该性质。
点积的定义与几何意义
向量的点积定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n
$$
此外，点积还具有重要的几何意义，即：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
其中$\theta$为$\vec{a}$与$\vec{b}$之间的夹角。
证明：
由几何定义可知，$\vec{a} \cdot \vec{b}$等于$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影长度乘以$\vec{b}$的模长。设$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的单位向量为$\hat{\vec{b}} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$，则投影长度为$|\vec{a}|\cos\theta$。因此：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
结合分量表达式即可完成证明。
综上所述，通过上述推导和验证，我们不仅掌握了向量的基本运算法则，也深入理解了其背后的逻辑基础。希望本文能够帮助读者更清晰地把握向量的核心知识体系。
